Ａ．4人(P,Q,R,S) の投票者が可"1"か否"0"を各1票ずつ投票し、「可」とする票と「否」とする票の多数の方を1ビットの票決(可"1"か否"0")とする可否投票の票決を判定する論理関数がある。ただし、可否が2票ずつの同数の場合の可否決定ルールは、以下の [a] [b] [c] の3通りがあり、それぞれのルールに従う票決を M_a, M_b, M_c とする。これらの論理関数を各々組み合わせ論理回路として実現したい。次の(1)～(7)の各問に答えよ。なお、投票に際しては棄権や白票は無いものとする。

【可否同数の場合の可否決定ルール】

(1) P, Q, R, S と M_a, M_b, M_c の論理関係を真理値表として示せ。

(2) (1)で求めた真理値表をもとに、カルノー図を用いて、P, Q, R, S を論理変数とする論理関数 M_a を最簡積和形論理式として求めよ。最簡形が複数ある場合はそれらすべてを示せ。

(3) (2)と同様にして、論理関数M_b を最簡積和形論理式として求めよ。最簡形が複数ある場合はそれらすべてを示せ。

(4) 同様にして、論理関数M_c を最簡積和形論理式として求めよ。最簡形が複数ある場合はそれらすべてを示せ。

(5) (2)で求めた積和形論理関数 M_a(P,Q,R,S) を、P, Q, R, S を入力、M_a を出力とするAND/OR回路(AND/OR/NOTの基本論理ゲートだけから構成される回路；ただし、ANDゲートとORゲートは3以上の多入力も許す)として示せ。

(6) 1個のn入力基本論理ゲートは(n－1)個の2入力基本論理ゲートとして換算する(ただし n≧2)ものとして、(5)で求めたAND/OR回路よりもさらに空間最適化された(ゲートの総数がより少ない)AND/OR回路は有るか。無いならその理由、有るならそのAND/OR回路及びその回路を表す論理式を、それぞれ示せ。

(7) (6)で「無い」とした場合は(5)で、「有る」とした場合は(6)で、それぞれ構成したAND/OR回路をNAND回路に変換して示せ。ただし、2入力NANDゲートだけが使えるものとする。
 

Ｂ．3個のJKフリップフロップ(JK-FF)を用いて、n進カウンタ(ただし、ｎ＝5,6,7,8)を同期式の順序回路として設計したい。3個のJK-FFの出力をそれぞれ Q_C Q_B Q_A とし、3個のFFの出力の並び Q_C Q_B Q_A がこの順で最上位ビットから最下位ビットのカウンタの3ビット状態(出力)である。例えば、8進カウンタとは、Q_C Q_B Q_A が 000 → 001 → 010 → 011 → 100 → 101 → 110 → 111 → 000 → …(以降は同じ繰り返しのため省略) という8つの状態をこの順で遷移することを繰り返す。また、5進カウンタとは、Q_C Q_B Q_A が 000 → 001 → 010 → 011 → 100 → 000 → … という5つの状態をこの順で遷移することを繰り返し、残りの3つの状態： 101 ， 110 及び 111 はドントケア"－"である。

(1) まず、8進カウンタを構成する。右のJK-FFの入力要求表(Q から Q⁺ へ状態遷移させるために必要な J K 入力信号の論理値を示す表)を用いて拡大入力要求表を作成し、それをカルノー図に写すことによって、各JK-FFの J K 入力 J_C1 , K_C1 , J_B1 , K_B1 , J_A1 , K_A1 すべてについて、各FFの出力およびその否定出力を論理変数とする最簡積和形論理式として示せ。

(2) 同様にして、7進カウンタを構成する各JK-FFの入力 J_C2 , K_C2 , J_B2 , K_B2 , J_A2 , K_A2 すべてを最簡積和形論理式として示せ。

(3) 同様にして、6進カウンタを構成する各JK-FFの入力 J_C3 , K_C3 , J_B3 , K_B3 , J_A3 , K_A3 すべてを最簡積和形論理式として示せ。

(4) 同様にして、5進カウンタを構成する各JK-FFの入力 J_C4 , K_C4 , J_B4 , K_B4 , J_A4 , K_A4 すべてを最簡積和形論理式として示せ。

(5) (1)～(4)で構成した8/7/6/5進カウンタのうち、回路の空間規模(基本論理ゲートの総数)が最小のカウンタはどれか。また、その回路をJK-FFと基本論理ゲート(AND/OR/NOTゲート)で構成せよ。

(6) (1)～(4)で構成した8/7/6/5進カウンタのうち、回路の空間規模(基本論理ゲートの総数)が最大のカウンタはどれか。また、その回路をJK-FFと2入力NANDゲートで構成する場合、JK-FF以外に2入力NANDゲートはいくつ必要か、理由を添えて答えよ。